Hier findest Du die Formelsammlung Mechanik.
Grundformeln für geradlinige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung
Für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung gilt:
Durch Umstellen dieser Gleichung nach v und geeigneten Flächenbetrachtungen unter dem v-t
Diagramm (bzw. Integrieren *) erhält man folgende Gleichung für den Weg, aus der sich alle
anderen Gleichungen herleiten lassen:
: Zurückgelegter Weg in m (wird oft auch mit x bezeichnet)
: Zur Zeit
bereits zurückgelegter Weg in m
: Anfangsgeschwindigkeit in
: Beschleunigung in
: Zeit in s
Zur Herleitung (*) von (1) mittels zweimalige Integration der konstanten Beschleunigung a über die Zeit:
Setzt man a=0, so erhält man die Formel für konstante Geschwindigkeit:
Differenziert man die Gleichung (1) nach t, so ergibt sich die Formel für die Geschwindigkeit
bei konstanter Beschleunigung:
Durch erneutes Differenzieren nach t erhält man die Beschleunigung:
Eliminiert man t, indem man die Gleichung (2) nach t auflöst und in die Gleichung (1)
einsetzt, so erhält man die dritte Grundgleichung für Bewegungen mit konstanter
Beschleunigung:
Mit diesen drei Gleichungen lassen sich sämtliche geradlinigen Bewegungen mit konstanter
Beschleunigung berechnen.
Freier Fall
Beim freien Fall wirkt auf einen Körper seine Gewichtskraft
. Nach dem
Grundgesetz der Mechanik erfährt er also die Beschleunigung
Setzt man die Gewichtskraft des Körpers in obige Formel ein, so
ergibt sich für seine Beschleunigung:
Ein frei fallender Körper erfährt also die Beschleunigung g. Da sich m wegkürzt, ist die
Beschleunigung für jeden Körper unabhängig von seiner Masse gleich groß (bei Vernachlässigung
der Luftreibung).
Es ist also
Einsetzen in (1):
(Der weg nach unten wird zur Vereinfachung als positiv angenommen)
Einsetzen in (2):
Einsetzen in (3):
Um die Fallzeit berechnen zu können, setzt man den Weg s gleich der Höhe h, aus der der Körper
herabfällt:
Senkrechter Wurf nach oben
Wie beim freien Fall wirkt beim senkrechten Wurf nach oben auf einen Körper seine
Gewichtskraft , die ihn diesmal nicht beschleunigt, sondern abbremst
(Der Vektor der Gewichtskraft und der der Abwurfgeschwindigkeit
weisen in entgegengesetzte Richtungen -> Die Kraft erhält ein negatives
Vorzeichen!). Mit dem Grundgesetz der Mechanik ergibt sich also für die Beschleunigung:
Mit
ergibt sich eingesetzt in
(1):
(2)
und (3):
Da der Körper im höchsten Punkt der Bewegung die Geschwindigkeit 0 hat, lässt sich die
Steigzeit folgendermaßen berechnen:
Setzt man in die Formel für den Weg ein, so erhält man die
maximale Steighöhe:
Zusammenhang zw. freiem Fall u. senkrechtem Wurf nach oben
Zwei wichtige Zusammenhänge zwischen freiem Fall und senkrechtem Wurf nach oben sind:
- Steigzeit = Fallzeit
- Abwurfgeschwindigkeit = Aufprallgeschwindigkeit
Es gilt also:
Waagrechter Wurf
Beim waagrechten Wurf müssen zwei überlagerte Bewegungen betrachtet werden: In x-Richtung
bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort, in y-Richtung vollführt er einen
freien Fall. Damit ergeben sich folgende Gleichungen für den Weg:
Für die Geschwindigkeit des Körpers gilt somit:
Durch Auflösen der Gleichung für die x-Koordinate des Körpers nach t und Einsetzen in die
Gleichung für die y-Koordinate erhält man folgende Gleichung für die Bahnkurve des Körpers:
Der Graph dieser Funktion ist ein Parabelast, der seinen Anfang im Ursprung des
Koordinatensystems hat. Um daraus die Wurfweite berechnen zu können, fügt man der Gleichung
für die Bahnkurve einen additiven Faktor h hinzu, der den Parabelast (= Wurfparabel) um h nach
oben verschiebt. Durch Berechnung der Nullstelle dieser Gleichung erhält man die maximale
Wurfweite in Abhängigkeit von h:
Um den Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit zu ermitteln, bedient man sich des Satzes des
Pythagoras. Da der Vektor der momentanen Geschwindigkeit in x-Richtung und der Vektor der
Momentangeschw. in y-Richtung ein rechtwinkliges Dreieck bilden, gilt:
Fasst man das Dreieck der Momentangeschwindigkeiten als Steigungsdreieck auf, kann man die
Steigung des Vektors der Bahngeschwindigkeit folgendermaßen berechnen:
Differenziert man die Funktion der Bahnkurve nach x, so erhält man die gleiche Steigung für
den Vektor der Bahngeschwindigkeit:
Da die Ableitung die Steigung der Tangente an den Graphen bedeutet, folgt daraus, dass die
Bahngeschwindigkeit tangential zur Bahnkurve verläuft.
Schräger Wurf nach oben
Auch der schräge Wurf nach oben stellt eine Überlagerung zweier Bewegungen dar: Die
Geschwindigkeit in x-Richtung ist wie beim waagrechten Wurf konstant, in y-Richtung vollführt
der Körper bis zum Scheitelpunkt der Wurfparabel einen senkrechten Wurf nach oben, danach
einen freien Fall nach unten. Der Vektor der Anfangsgeschwindigkeit muss also in einen
Geschwindigkeitsvektor in vertikaler und horizontaler Richtung zerlegt werden (Der Winkel
ist die Neigung des Vektors der Abwurfgeschwindigkeit
zur Horizontalen):
Damit ist die Geschwindigkeit in y-Richtung:
Durch Einsetzen der Anfangsgeschwindigkeiten in (1) erhält man für die x- und y-Koordinate des Körpers:
Eliminiert man t aus diesen beiden Gleichungen, so erhält man die Gleichung der Bahnkurve:
Die Wurfweite kann man entweder aus den Nullstellen der Bahnkurve ermitteln, oder eleganter:
Am Scheitelpunkt der Bewegung hat der Körper in y-Richtung die Geschwindigkeit 0, also gilt
für die Steigzeit:
Eingesetzt in die Gleichung für die x-Koordinate ergibt sich also die halbe Wurfweite:
Mithilfe folgender trigonometrischer Beziehung kann der Ausdruck weiter vereinfacht werden:
Um zu ermitteln, unter welchem Winkel die Wurfweite bei konstantem
maximal wird, muss man sich überlegen, bei welchem Winkel der Ausdruck
maximal wird. Da gilt
folgt daraus für den optimalen Winkel:
Wie man sich leicht am Einheitskreis überlegen kann, gilt die trigonometrische Beziehung:
Für gilt folglich für die Wurfweite:
Analog ergibt sich mit
Somit folgt aus der oben genannten trigonometrischen Beziehung:
Quantitativ kann man sich diesen Zusammenhang so erklären, dass bei einem größeren
Abwurfwinkel zwar die Geschwindigkeit in y-Richtung größer, aber in x-Richtung kleiner ist;
bei einem kleineren Abwurfwinkel verhält es sich genau umgekehrt.
Man könnte noch eine Formel hinzufügen, mit der man mit v0 die maximal erreichbare Höhe errechnet.
In deine Formel für die y-Koordinate eingesetzt ergibt das:
Für Indizes kannst du einfach einen Unterstrich nehmen: v_0 oder bei Indizes aus mehreren Zeichen diese in eine geschweifte Klammer setzen: t_{Steig}. Tox
Bewegung auf der schiefen Ebene
Die folgenden Überlegungen zur schiefen Ebene berücksichtigen nicht die Reibung des Körpers
mit dem Untergrund!
Gleitet ein Körper auf einer schiefen Ebene mit der Neigung zur Horizontalen hinab, so lässt sich seine Gewichtskraft
in zwei Komponenten zerlegen: In eine Normalkraft
, die ihn auf die Unterlage
drückt und eine Hangabtriebskraft , die ihn nach unten beschleunigt:
Aus dem Grundgesetz der Mechanik folgt also für seine Beschleunigung:
Wie man sieht, ist die Bewegung unabhängig von der Masse des Körpers.
Mit:
in (1) und (2) ergibt sich für den Weg und die Geschwindigkeit: